Java y Linux – Cómo cambiar la variable de entorno JAVA_HOME para todos los usuarios en Linux

Tengo como sistema operativo Linux Mint en su versión que se basa en Debian 10. En mi usuario tengo instalado varias versiones de Java, más concretamente la 1.6, que la utilizo con el software Frascati; la versión 1.8 para proyectos en general ya que me conviene que tiene integrado el JavaFx; y por último la versión 16 que la utilizo con Spring, ya que me exigen esa versión en la universidad. Entonces, mi pregunta es ¿Cómo hago para cambiar la variable de entorno JAVA_HOME cada vez que quiero cambiar de versión de java?

He leído que para eso lo más correcto sería crear un archivo .sh en la ruta /etc/profile.d/ y luego de crearla ejecutar el comando chmod +x file.sh. Pero lo hago, le doy los permisos, cierro y luego abro sesión y no me aparece nada cuando ejecuto el comando echo $JAVA_HOME. Esto es lo que tengo en dicho archivo (el cual llamé java_home.sh, no se si el nombre importe):

#!/bin/sh
export JAVA_HOME=$(readlink -f /usr/bin/java | sed "s:/bin/java::")
export PATH=$JAVA_HOME/bin:$PATH

Según lo que dice en este enlace how-to-set-java-home-in-linux-for-all-users, esa es la mejor forma de tenerlo, ya que me permite tener la versión de java que elegí con el comando update-alternatives --config java posterior al cierre e inicio de sesión. Pero como dije anteriormente no me funciona.

La otra opción que observe es la de escribir eso que tengo en el archivo .sh en la ruta /etc/profile, al final del documento. Pero el problema de ello es que tengo que usar la consola si o si para poder que se me cambie la variable JAVA_HOME al iniciar sesión y eso es lo que quiero evitar.